-2019学年八年级数学上期中试卷(5)

中学教育2019-06-19李一老师

三、解答题.(共75分)

16.(10分)计算或解答

(1)﹣+|1﹣|﹣(2+)

(2)一个数的算术平方根为2m﹣6,它的平方根为±(2﹣m),求这个数.

【分析】(1)首先利用算术平方根以及立方根和绝对值的性质分别化简得出答案;

(2)利用算术平方根以及平方根的定义得出m的值进而得出答案.

【解答】解:(1)原式=6+3+2﹣1﹣2﹣2

=6;

(2)由题意得:2m﹣6≥0,

∴m≥3,∴m﹣2>0,

因此2m﹣6=﹣(2﹣m),

∴m=4,所以这个数是(2m﹣6)2=4.

【点评】此题主要考查了实数运算,正确把握相关定义是解题关键.

17.(8分)分解因式.

(1)4x3y﹣4x2y2+xy3

(2)m3(x﹣2)+m(2﹣x)

【分析】(1)多项式共3项且有公因式,应先提取公因式,再考虑用完全平方公式分解;

(2)多项式变形为m3(x﹣2)﹣m(x﹣2),先提取公因式,再考虑用平方差公式分解.

【解答】解:(1)原式=xy(4x2﹣4xy+y2)

=xy(2x﹣y)2

(2)原式=m3(x﹣2)﹣m(x﹣2)

=m(x﹣2)(m2﹣1)

=m(x﹣2)(m+1)(m﹣1)

【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式,一般来说,多项式若有公因式先提取公因式,再考虑运用公式法分解.

18.(10分)(1)计算:[(ab+1)(ab﹣2)﹣(2ab)2+2]÷(﹣ab)

(2)先化简,再求值:(x+2)2+(2x+1)(2x﹣1)﹣4x(x+1),其中x=﹣.

【分析】(1)先算括号内的乘法,再合并同类项,最后算除法即可;

(2)先算乘法,再合并同类项,最后代入求出即可.

【解答】解:(1)原式=(a2b2﹣ab﹣2﹣4a2b2+2)÷(﹣ab)

=(﹣3a2b2﹣ab)÷(﹣ab)

=3ab+1;

(2)解:原式=x2+4x+4+4x2﹣1﹣4x2﹣4x

=x2+3,

当x=﹣2时,原式=(﹣2)2+3=5.

【点评】本题考查了整式的混合运算和求值,能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键.

19.(9分)已知,a+b=3,ab=﹣2,求下列各式的值:

(1)(a﹣1)(b﹣1)

(2)a2+b2

(3)a﹣b

【分析】(1)把式子展开,整体代入求出结果;

(2)利用完全平方公式,把a2+b2变形为(a+b)2﹣2ab,整体代入求出结果;

(3)根据已知和(2)的结果,先求出(a﹣b)2的值,再求它的平方根.

【解答】解:(1)原式=ab﹣a﹣b+1

=ab﹣(a+b)+1

=﹣2﹣3+1

=﹣4

(2)原式=(a+b)2﹣2ab

=9+4

=13

(3)∵(a﹣b)2

=a2+b2﹣2ab

=13+4

=17

∴a﹣b=±.

【点评】本题考查了整体代入和完全平方公式的变形.解决本题的关键是利用转化的思想.

20.(7分)如图,已知AB=CD,AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E,F,BF=DE,求证:AB∥CD.

【分析】根据全等三角形的判定与性质,可得∠B=∠D,根据平行线的判定,可得答案.

【解答】证明:∵AE⊥BD,CF⊥BD,

∴∠AEB=∠CFD=90°,

∵BF=DE,

∴BF+EF=DE+EF,

∴BE=DF.

在Rt△AEB和Rt△CFD中,

∴Rt△AEB≌Rt△CFD(HL),

∴∠B=∠D,

∴AB∥CD.

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质,利用等式的性质得出BE=DF是解题关键,又利用了全等三角形的判定与性质.

21.(10分)(1)化简:(a﹣b)2+(b﹣c)2+(c﹣a)2;

(2)利用(1)题的结论,且a=2015x+2016,b=2015x+2017,c=2015x+2018,求a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值.

【分析】(1)根据整式的混合运算的法则化简后,代入求值即可;

(2)原式变形后,利用完全平方公式配方后,将已知等式代入计算即可求出值.

【解答】(1)解:原式=a2﹣2ab+b2+b2﹣2bc+c2+c2﹣2ac+c2=2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc;

(2)解:原式=(2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc)= [(a﹣b)2+(b﹣c)2+(c﹣a)2]

当a=2015x+2016,b=2015x+2017,c=2015x+2018,

∴原式=×[(﹣1)2+(﹣1)2+22]=3.

【点评】此题考查了因式分解的应用,熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.

22.(10分)如图,已知△ABC中,∠B=∠C,AB=12厘米,BC=8厘米,点D为AB的中点.如果点P在线段BC上以每秒2厘米的速度由B点向C点运动,同时,点Q在线段CA上以每秒a厘米的速度由C点向A点运B动设运动时间为t(秒)(0≤t≤4).

(1)若点P点Q的运动速度相等经过1秒后,△BPD与△CQP是否全等,请说明理由;

(2)若点P点Q的运动速度不相等,当点Q的速度是多少时,能够使△BPD与△CQP全等?

【分析】(1)依据点P点Q的运动速度相等,经过1秒,运用SAS即可得到△BPD和△CQP全等;

(2)依据BP≠CQ,△BPD≌△CQP,可得BP=CP=4,进而得出t=2,a=3,即可得到当点Q的速度是3厘米/秒时,能够使△BPD与△CQP全等.

【解答】解:(1)△BPD和△CQP全等

理由:∵t=1秒,

∴BP=CQ=2,

∴CP=8﹣BP=6,

∵AB=12,

∴BD=12×=6,

∴BD=CP,

又∠B=∠C,

∴△BPD≌△CQP(SAS);

(2)∵BP≠CQ,△BPD≌△CQP,

∴BP=CP=4,

∴t=2,

∴BD=CQ=at=2a=6,

∴a=3,

∴当点Q的速度是3厘米/秒时,能够使△BPD与△CQP全等.

【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定,解一元一次方程的应用,能求出△BPD≌△CQP是解此题的关键,注意:全等三角形的对应边相等,对应角相等.

23.(11分)CD经过∠BCA顶点C的一条直线,CA=CB.E,F分别是直线CD上两点,且∠BEC=∠CFA=∠α.

(1)若直线CD经过∠BCA的内部,且E,F在射线CD上,请解决下面两个问题:

①如图1,若∠BCA=90°,∠α=90°,则BE = CF;(填“>”,“<”或“=”);EF,BE,AF三条线段的数量关系是: EF=|BE﹣AF| .

②如图2,若0°<∠BCA<180°,请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件 ∠α+∠ACB=180°. ,使①中的两个结论仍然成立,并证明两个结论成立.

(2)如图3,若直线CD经过∠BCA的外部,∠α=∠BCA,请提出EF,BE,AF三条线段数量关系的合理猜想并证明.

【分析】(1)①求出∠BEC=∠AFC=90°,∠CBE=∠ACF,根据AAS证△BCE≌△CAF,推出BE=CF,CE=AF即可;

②求出∠BEC=∠AFC,∠CBE=∠ACF,根据AAS证△BCE≌△CAF,推出BE=CF,CE=AF即可;

(2)求出∠BEC=∠AFC,∠CBE=∠ACF,根据AAS证△BCE≌△CAF,推出BE=CF,CE=AF即可.

【解答】解:(1)①如图1中,

E点在F点的左侧,

∵BE⊥CD,AF⊥CD,∠ACB=90°,

∴∠BEC=∠AFC=90°,

∴∠BCE+∠ACF=90°,∠CBE+∠BCE=90°,

∴∠CBE=∠ACF,

在△BCE和△CAF中,

∴△BCE≌△CAF(AAS),

∴BE=CF,CE=AF,

∴EF=CF﹣CE=BE﹣AF,

当E在F的右侧时,同理可证EF=AF﹣BE,

∴EF=|BE﹣AF|;

故答案为=,EF=|BE﹣AF|.

②∠α+∠ACB=180°时,①中两个结论仍然成立;

证明:如图2中,

∵∠BEC=∠CFA=∠a,∠α+∠ACB=180°,

∴∠CBE=∠ACF,

在△BCE和△CAF中,

∴△BCE≌△CAF(AAS),

∴BE=CF,CE=AF,

∴EF=CF﹣CE=BE﹣AF,

当E在F的右侧时,同理可证EF=AF﹣BE,

∴EF=|BE﹣AF|;

故答案为∠α+∠ACB=180°.

(2)结论:EF=BE+AF.

理由:如图3中,

∵∠BEC=∠CFA=∠a,∠a=∠BCA,

又∵∠EBC+∠BCE+∠BEC=180°,∠BCE+∠ACF+∠ACB=180°,

∴∠EBC+∠BCE=∠BCE+∠ACF,

∴∠EBC=∠ACF,

在△BEC和△CFA中,

∴△BEC≌△CFA(AAS),

∴AF=CE,BE=CF,

∵EF=CE+CF,

∴EF=BE+AF.

【点评】本题综合考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质,注意这类题目图形发生变化,结论基本不变,证明方法完全类似,属于中考常考题型.

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