江苏省无锡市2019届高三第一次模拟考试

数学参考答案及评分标准

1. {x|0<x<1} 2. －1 3. 36 4. 13 5. 25

6. [0，3] 7. 梯形 8. y2＝12x 9. 3π 10. 21

11. 5214 12. －2 13. 19－122 14. 132

15. (1) 由m∥n及m＝(a，sin C－sin B)，n＝(b＋c，sin A＋sin B)，

得a(sin A＋sin B)－(b＋c)(sin C－sin B)＝0，(2分)

由正弦定理，得aa2R＋b2R－(b＋c)c2R－b2R＝0，

所以a2＋ab－(c2－b2)＝0，得c2＝a2＋b2＋ab，

由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C，

所以a2＋b2＋ab＝a2＋b2－2abcos C，

所以ab＝－2abcos C，(5分)

因为ab>0，所以cos C＝－12，

又因为C∈(0，π)，所以C＝2π3.(7分)

(2) 在△ABC中，由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C，

所以a2＋b2－2abcos2π3＝9，即(a＋b)2－ab＝9，(9分)

所以ab＝(a＋b)2－9≤a＋b22，所以3（a＋b）24≤9，

即(a＋b)2≤12，所以a＋b≤23，(12分)

又因为a＋b>c，所以6<a＋b＋c≤23＋3，即周长l满足6<l≤3＋23，

所以△ABC周长的取值范围是(6，3＋23]．(14分)

16. (1) 因为AB⊥AD，AB⊥BC，且A，B，C，D共面，

所以AD∥BC.(3分)

(第16题)

因为BC?平面PAD，AD?平面PAD，

所以BC∥平面PAD.(5分)

(2) 如图，过点D作DH⊥PA于点H，

因为△PAD是锐角三角形，所以H与A不重合．(7分)

因为平面PAD⊥平面PAB，平面PAD∩平面PAB＝PA，DH?平面PAD，

所以DH⊥平面PAD.(9分)

因为AB?平面PAB，所以DH⊥AB.(11分)

因为AB⊥AD，AD∩DH＝D，AD，DH?平面PAD，

所以AB⊥平面PAD.

因为AB?平面ABCD，所以平面PAD⊥平面ABCD.(14分)

17. (1) 由题意得1×1＋x203≥1.6，

因为5x<100－5x，所以x<10且x∈Z.(2分)

因为y＝1＋x203在x∈[1，9]上单调递增，

由数据知，1.153≈1.521<1.6，1.23＝1.728>1.6，

所以x20≥0.2，得x≥4.(5分)

又x＜10且x∈Z，故x＝4，5，6，7，8，9.

答：至少抽取20户从事包装、销售工作．(7分)

(2) 假设该村户均纯收入能达到1.35万元，由题意得，不等式1100[5x3－14x＋1＋x20(100－5x)]≥1.35有正整数解，(8分)

化简整理得3x2－30x＋70≤0，(10分)

所以－153≤x－5≤153.(11分)

因为3<15<4，且x∈Z，所以－1≤x－5≤1，即4≤x≤6. (13分)

答：至2018年底，该村户均纯收入能达到1万3千5百元，此时从事包装、销售的农户数为20户，25户，30户．(14分)

18. (1) 由题意得3a2＋14b2＝1，ca＝32，a2＝b2＋c2，得a2＝4，b2＝1，(4分)

故椭圆C的标准方程为x24＋y2＝1.(5分)

(2) 由题意设lAP：y＝k(x＋2)，－12<k<0，所以C(0，2k)，

由y＝k（x＋2），x24＋y2＝1，消去y得(1＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－4＝0，所以xAxP＝16k2－41＋4k2，由xA＝－2得xP＝2－8k21＋4k2，故yP＝k(xP＋2)＝4k1＋4k2，

所以P2－8k21＋4k2，4k1＋4k2，(8分)

设D(x0，0)，因为B(0，1)，P，B，D三点共线，所以kBD＝kPB，故1－x0＝4k1＋4k2－12－8k21＋4k2，解得xD＝2（1＋2k）1－2k，

得D2（1＋2k）1－2k，0，(10分)

所以S△PCD＝S△PAD－S△CAD＝12×AD×|yP－yC|＝122（1＋2k）1－2k＋24k1＋4k2－2k＝4|k（1＋2k）|1＋4k2，(12分)

因为－12<k<0，所以S△PCD＝－8k2－4k1＋4k2＝－2＋2×1－2k1＋4k2，令t＝1－2k，1<t<2，所以2k＝1－t，

所以g(t)＝－2＋2t1＋（1－t）2＝－2＋2tt2－2t＋2＝－2＋2t＋2t－2≤－2＋222－2＝2－1，(14分)

当且仅当t＝2时取等号，此时k＝1－22，所以△PCD面积的最大值为2－1.(16分)

19. (1) 由f(x)＝ex－12x2－x，则f′(x)＝ex－x－1，

令g(x)＝f′(x)，则g′(x)＝ex－1，(3分)

当x>0时，g′(x)>0，则f′(x)在(0，＋∞)上单调递增，

故f′(x)>f′(0)＝0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，(5分)

进而f(x)>f(0)＝1>0，即对任意x>0，都有f(x)>0.(6分)

(2) f′(x)＝ex－ax－a，因为x1，x2为f(x)的两个极值点，

所以f′（x1）＝0，f′（x2）＝0，即ex1－ax1－a＝0，ex2－ax2－a＝0.

两式相减，得a＝ex1－ex2x1－x2，(8分)

则所证不等式等价于x1＋x22<lnex1－ex2x1－x2，即ex1＋x22<ex1－ex2x1－x2，(10分)

不妨设x1>x2，两边同时除以ex2可得：ex1－x22<ex1－x2－1x1－x2，(12分)

令t＝x1－x2，t>0，所证不等式只需证明：

et2<et－1t?tet2－et＋1<0.(14分)

设φ(t)＝tet2－et＋1，则φ′(t)＝－et2?et2－t2＋1，因为ex≥x＋1，令x＝t2，

可得et2－t2＋1≥0，所以φ′(t)≤0，所以φ(t)在(0，＋∞)上单调递减，φ(t)<φ(0)＝0，

所以x1＋x22<ln a．(16分)

20. (1) 因为2a1a3＝a4，所以2a1?a1q2＝a1q3，

所以a1＝q2，所以an＝q2qn－1＝12qn.(2分)

因为2Tn＝n(bn－1)，n∈N*，①

所以2Tn＋1＝(n＋1)(bn＋1－1)，n∈N，②

②－①，得2Tn＋1－2Tn＝(n＋1)bn＋1－nbn－(n＋1)＋n，n∈N*，

所以2bn＋1＝(n＋1)bn＋1－nbn－(n＋1)＋n，

所以(n－1)bn＋1＝nbn＋1，n∈N*，③(4分)

所以nbn＋2＝(n＋1)bn＋1＋1，n∈N，④

④－③得nbn＋2－(n－1)bn＋1＝(n＋1)bn＋1－nbn，n∈N*，

所以nbn＋2＋nbn＝2nbn＋1，n∈N*，所以bn＋2＋bn＝2bn＋1，

所以bn＋2－bn＋1＝bn＋1－bn，所以{bn}为等差数列．

因为n＝1时b1＝－1，又b2＝1，

所以公差为2，所以bn＝2n－3.(6分)

(2) 由(1)得Sn＝q2（1－qn）1－q，所以Sn＋12t＝q2（1－qn）1－q＋12t＝qn＋t2（q－1）＋q2（1－q）＋12t，

要使得Sn＋12t为等比数列，则通项必须满足指数型函数，即q2（1－q）＋12t＝0，解得t＝q－1q.(9分)

此时Sn＋1＋12tSn＋12t＝qn＋22（q－1）qn＋12（q－1）＝q，

所以存在t＝q－1q，使得Sn＋12t为等比数列．(10分)

(3) cn＝1bn＋4＝12n＋1，设对于任意给定的正整数k(k≥2)，存在正整数l，m(k<l<m)，使得ck，cl，cm成等差数列，所以2cl＝ck＋cm，所以22l＋1＝12k＋1＋12m＋1.

所以12m＋1＝22l＋1－12k＋1＝4k－2l＋1（2l＋1）（2k＋1）.

所以m＝2kl－k＋2l4k－2l＋1

＝（－4k＋2l－1）（k＋1）＋（2k＋1）24k－2l＋1

＝－k－1＋（2k＋1）24k－2l＋1.

所以m＋k＋1＝（2k＋1）24k－2l＋1.

因为给定正整数k(k≥2)，所以4k－2l＋1能整除(2k＋1)2且4k－2l＋1>0，

所以4k－2l＋1＝1或2k＋1或(2k＋1)2.(14分)

若4k－2l＋1＝1，则l＝2k，m＝4k2＋3k，此时m－l＝4k2＋k>0，满足(k<l<m)；

若4k－2l＋1＝2k＋1，则k＝l，矛盾(舍去)；

若4k－2l＋1＝(2k＋1)2，则l＝2k2，此时m＋k＝0(舍去)．

综上，任意给定的正整数k(k≥2)，存在正整数l＝2k，m＝4k2＋3k，使得ck，cl，cm成等差数列．(16分)

江苏省无锡市2019届高三第一次模拟考试

数学附加题参考答案及评分标准

21. 因为A＝0－110，所以ab120－110＝34cd，得b＝3，－a＝4，2＝c，－1＝d，(6分)

即a＝－4，b＝3，c＝2，d＝－1，(8分)

所以ad－bc＝(－4)×(－1)－2×3＝－2.(10分)

22. 以极点O为直角坐标原点，以极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系，设P(ρ，θ)，M(ρ′，θ)，

因为OM?OP＝12，所以ρρ′＝12.

因为ρ′cos θ＝3，所以12ρcos θ＝3，即ρ＝4cos θ，

(3分)

化为直角坐标方程为x2＋y2－4x＝0，

即(x－2)2＋y2＝4.(5分)

由x＝－1＋22t，y＝2＋22t(t为参数)得普通方程为x－y＋3＝0，(7分)

所以PQ的最小值为圆上的点到直线距离的最小值，

即PQmin＝d－r＝|2－0＋3|2－2＝522－2.(10分)

23. (1) 由题意得（x－2）2＋y2－|x＋1|＝1，(2分)

即（x－2）2＋y2＝|x＋1|＋1.

因为x>0，所以x＋1>0，

所以（x－2）2＋y2＝x＋2，

两边平方，整理得曲线C的方程为y2＝8x.(4分)

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立y2＝8x，y＝kx＋2，

得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，所以x1x2＝4.(6分)

由kFA＋kFB＝y1x1－2＋y2x2－2＝k（x1＋2）x1－2＋k（x2＋2）x2－2

＝k（x1＋2）（x2－2）＋k（x1－2）（x2＋2）（x1－2）（x2－2）

＝2k（x1x2－4）（x1－2）（x2－2）.(8分)

将x1x2＝4代入，得kFA＋kFB＝0，

所以直线FA和直线FB的倾斜角互补．(10分)

24. (1) 因为n≥2，由1an－1＝2－an－1an－1－1，

得1an－1＝1－an－1an－1－1＋1an－1－1，

所以1an－1－1an－1－1＝－1，(1分)

所以1an－1是首项为－3，公差为－1的等差数列，

且1an－1＝－n－2，所以an＝n＋1n＋2.(3分)

(2) 下面用数学归纳法证明：Sn<n－lnn＋32＋12.

①当n＝1时，左边＝S1＝a1＝23，右边＝32－ln 2，

因为e3>16?3ln e>4ln 2?ln 2<34，

32－ln 2>32－34＝34>23，

所以命题成立；(5分)

②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时成立，

即Sk<k－lnk＋32＋12，

则当n＝k＋1，Sk＋1＝Sk＋ak＋1<k－lnk＋32＋12＋k＋2k＋3，

要证Sk＋1<(k＋1)－ln（k＋1）＋32＋12，

只要证k－lnk＋32＋12＋k＋2k＋3<(k＋1)－ln（k＋1）＋32＋12，

只要证lnk＋4k＋3<1k＋3，即证ln1＋1k＋3<1k＋3.(8分)

考查函数F(x)＝ln(1＋x)－x(x>0)，

因为x>0，所以F′(x)＝11＋x－1＝－x1＋x<0，

所以函数F(x)在(0，＋∞)上为减函数，

所以F(x)<F(0)＝0，即ln(1＋x)<x，

所以ln1＋1k＋3<1k＋3，也就是说，当n＝k＋1时命题也成立．

综上所述，Sn<n－lnn＋32＋12.(10分)