2023年全国普通高考，四川同学分数线已经可以查询，各批次投档、录取控制线已经公布，520分的理科类考生是可以填报一本批次录取志愿的，如果填报志愿选择区段合理是可以有被一本批次大学招生专业录取的。

文科类考生因为离文科一本控制线分数线相差18分，原始志愿环节被录取的可能性不大，征集志愿环节也是有可能被降低分数线调剂录取的。

总体上，520分是有可能上一本的，只是靠拢一本的机会相对不高。

一道概率题

今年湖北省高考数学文科卷第21题及第（Ⅱ）问标准答案如下：

21．某会议室用5盏灯照明，每盏灯各使用灯泡一只，且型号相同.假定每盏灯能否正常照明只与灯泡的寿命有关，该型号的灯泡寿命为1年以上的概率为p1，寿命为2年以上的概率为p2.从使用之日起每满1年进行一次灯泡更换工作，只更换已坏的灯泡，平时不换.

（Ⅰ）在第一次灯泡更换工作中，求不需要换灯泡的概率和更换2只灯泡的概率；

（Ⅱ）在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，求该盏灯需要更换灯泡的概率；

（Ⅲ）当p1=0.8，p2=0.3时，求在第二次灯泡更换工作，至少需要更换4只灯泡的概率（结果保留两个有效数字）.

解：（II）对该盏灯来说，在第1、2次都更换了灯泡的概率为（1-p1）2；在第一次未更换灯泡而在第二次需要更换灯泡的概率为p1(1-p2)，故所求的概率为

在此解答中，p1(1-p2)是令人费解的其疑点有二：

疑点一：记“灯泡使用寿命一年以上”为事件A，则P（A）= p1.记“灯泡使用寿命两年以上”为事件B，则P（B）=P2.“灯泡使用不过两年”为事件C，P（C）=1-P2，我们的疑点是：事件A与事件C是相互独立事件吗？事实上，如果A不发生时，C必然发生，其概率为1，如果A发生时，C不一定发生，其概率不再为1，也就是说A发生与否对C发生的概率是有影响的，它们不是相互独立事件.那么我们有理由怀疑p1(1-p2)的正确性

疑点二：“在第一次未更换灯泡而在第二次需要更换灯泡”的概率其实就是指的是“灯泡寿命为一年以上，且不过两年”的概率.那么“灯泡寿命为一年以上，且不过两年”的概率到底怎么求呢？它真的为p1(1-p2)吗？事实上，我们知道灯泡寿命的概率是可以通过大量的实验来得到的，我们不妨假想用了一万只灯泡做实验，其中使用没超过一年的有3千只，用了一年以上的有7千只，用了两年以上的有3千只，则“灯泡使用寿命一年以上”的频率为7000/10000，“灯泡使用寿命两年以上”的频率为3000/10000，“灯泡寿命为一年以上，且不过两年”的频率为7000-3000除以10000，这样我们不难理解“灯泡寿命为一年以上，且不过两年”的概率就应该为p1-p2.

下面我们从不同的角度来思考，就可以得到与之迥然不同的正确答案

一．从对立事件的角度来分析

解：两年后一次也没有被换掉灯泡的概率：p2

第一次换掉，第二次没被换掉的概率：（1- p1）p1

故在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，求该盏灯需要更换灯泡的概率：

p=1-[ p2 +（1- p1）p1] =1+ p12-p1-p2

二．从互斥事件的角度来分析

解：p1是“寿命为一年以上”（记为事件A）的概率，p2是“寿命为两年以上”（记为事件B）的概率，“寿命为一年以上而且不过两年”（记为事件C）与“ 寿命为两年以上”是互斥事件，显然有P（A）=P（B+C）=P（B）+P（C）.则“寿命为一年以上两年以下”的概率为p1-p2.

又因为”第一次被换，第二次又被换”的概率为：（1-p1）(1-p1),

第一次没被换，第两次被换，即“寿命为一年以上两年以下”的概率为p1-p2.

故在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，求该盏灯需要更换灯泡的概率：

p=（1-p1）(1-p1)+ p1-p2=1+ p12-p1-p2

三．从相互独立事件的角度来分析

一年后灯泡没坏的概率为p1，一年后这个灯泡成了旧灯泡，设再用一年它依然没坏的概率为x,则有p1 x= p2.于是我们又有了这样的解法：

第一次被换，第二次被换的概率为：（1-p1）(1-p1)

第一次没被换，第两次被换的概率为：p1（1- x）= p1（1- p2/ p1）= p1-p2

故在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，求该盏灯需要更换灯泡的概率：

p=（1-p1）(1-p1)+ p1-p2=1+ p12-p1-p2

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从以上三种解答中得到的结论是一致的，那就是在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，该盏灯需要更换灯泡的概率：p=1+ p12-p1-p2